Questão 2023 - Matemática

• 2023 • Matemática • Escriturário - Agente Comercial • Fácil | 2 min

Em 2021, uma empresa lançou o produto P, até então o único de sua categoria no mercado. No início do ano seguinte, uma outra empresa lançou um forte concorrente desse produto. O lançamento desse produto concorrente implicou, em 2022, uma redução de 4% nas vendas do produto P, em comparação com 2021. Supondo-se que essa taxa de redução anual nas vendas se mantenha, o número aproximado de anos, depois de 2021, em que as vendas do produto P serão apenas 30% das vendas alcançadas no ano do seu lançamento é dado por

Blue Explica

✔ Alternativa A está correta

$$ \frac{-1 + \log_{10} 3}{-2 + 5 \times \log_{10} 2 + \log_{10} 3} $$

💡 Por que essa alternativa está certa?

Uma redução de $ 4\% $ ao ano significa multiplicar as vendas de cada ano pelo fator $ 0{,}96 $. Passados $ n $ anos após 2021, as vendas do produto P serão $ 0{,}96^{n} $ das vendas de 2021, e o enunciado pede o instante em que esse valor cai para $ 30\% $, ou seja, para $ 0{,}3 $.

Monta-se, então, a equação $ 0{,}96^{n} = 0{,}3 $, e aplica-se logaritmo decimal aos dois membros, o que dá $ n = \frac{\log_{10} 0{,}3}{\log_{10} 0{,}96} $.

Desenvolvendo o numerador, $ \log_{10} 0{,}3 = \log_{10} 3 - 1 $. Desenvolvendo o denominador, $ \log_{10} 0{,}96 = \log_{10} 96 - 2 = 5 \times \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 2 $, porque $ 96 = 2^{5} \times 3 $. Substituindo, chega-se à fração da alternativa correta, que vale aproximadamente $ 29{,}5 $ anos.

❌ Por que as outras estão erradas?

B) O numerador $ -3 + \log_{10} 3 $ é igual a $ \log_{10} 0{,}003 $ e corresponde a tomar $ 0{,}3\% $ das vendas de 2021 como alvo, em vez dos $ 30\% $ pedidos.

C) O numerador $ 2 + 5 \times \log_{10} 2 $ e o denominador $ -1 + 3 \times \log_{10} 2 + \log_{10} 3 $ foram montados com expansões logarítmicas erradas de $ 0{,}3 $ e de $ 0{,}96 $.

D) O numerador $ 4 + \log_{10} 2 $ não equivale a $ \log_{10} 0{,}3 $, e o denominador repete o mesmo erro de expansão da alternativa C.

E) O numerador $ -5 + 4 \times \log_{10} 3 $ e o denominador $ -2 + 3 \times \log_{10} 2 + \log_{10} 3 $ não correspondem aos logaritmos de $ 0{,}3 $ e de $ 0{,}96 $; os coeficientes das parcelas foram trocados.

⚠️ Onde a banca tentou te confundir?

As cinco alternativas repetem quase a mesma estrutura de frações logarítmicas, mudando apenas sinais e coeficientes, para explorar erros de desenvolvimento mental dos logaritmos de números decimais. Lembre que $ \log_{10} 0{,}3 $ perde uma potência de dez em relação a $ \log_{10} 3 $ e que o $ 5 \times \log_{10} 2 $ do denominador certo vem de $ 96 = 2^{5} \times 3 $.

🎯 Como lembrar disso na prova?

Queda percentual constante vira progressão geométrica de razão $ 0{,}96 $. Para descobrir em quantos anos as vendas chegam à fração alvo, isole o tempo com logaritmo — $ n = \frac{\log_{10} 0{,}3}{\log_{10} 0{,}96} $ — e desenvolva todo logaritmo de número decimal como potência de dez. Assim você compara direto com as frações das alternativas.

Blue Explica

Ferramentas da Questão

Questões similares

Estatísticas desta Questão

Blue Explica

Ferramentas da Questão

Questões similares

Estatísticas desta Questão

Reportar Erro

Bem-vindo ao Blue Concursos

Recuperar Senha