O total de bolas é $$5+6+7=18$$, e o número de maneiras de escolher 5 delas é $$\binom{18}{5}$$.

É mais simples calcular o complemento: a seleção não tem pelo menos uma bola de alguma cor. Os eventos são: não sair amarela ($$\binom{13}{5}$$), não sair azul ($$\binom{12}{5}$$), não sair verde ($$\binom{11}{5}$$).

Ao somar esses três eventos, contamos duas vezes os casos em que faltam duas cores: não amarela e não azul ($$\binom{7}{5}$$), não amarela e não verde ($$\binom{6}{5}$$), não azul e não verde ($$\binom{5}{5}$$). Como faltar as três cores é impossível com cinco bolas, não há termo final.

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a probabilidade do complemento é $$\dfrac{\binom{13}{5}+\binom{12}{5}+\binom{11}{5}-\binom{7}{5}-\binom{6}{5}-\binom{5}{5}}{\binom{18}{5}}$$, e a probabilidade pedida é o seu complemento até 1.