Alternativa E está correta

“ln 100”

Temos duas modelagens corretas para o mesmo problema:

a(x) = 1000e^kx

b(x) = 10^2x + 3

Se ambas representam a mesma função, então:

1000e^kx = 10^2x + 3

1.Reescrevendo a segunda função

Sabemos que:

10^2x + 3 = 10^3 ⋅ 10^2x

10^3 = 1000

Logo:

10^2x+3 = 1000 ⋅ 10^2x

Substituindo na igualdade:

1000e^kx = 1000 ⋅ 10^2x

Cancelando 1000 dos dois lados:

e^kx = 10^2xe

2. Escrever em base e

Sabemos que:

10^2x=(eln⁡10)2x

= e^2xln⁡10

Logo:

e^kx = e^2xln⁡10

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:

kx  = 2xln⁡10

Dividindo por x:

k = 2ln⁡10

3.Simplificação final

Utilizando propriedade dos logaritmos:

2ln⁡10 = ln⁡(10^2)

2ln⁡10 = ln⁡100