J modelou um problema de matemática por uma função exponencial do tipo a(x)=1000 ekx, e L, trabalhando no mesmo problema, chegou à modelagem b(x)=102x+3. Considerando-se que ambos modelaram o problema corretamente, e que ln x = logex, qual o valor de k?

Questão 2021 - Matemática

Alternativa E está correta

“ln 100”

Temos duas modelagens corretas para o mesmo problema:

$1000e^kx$

$10^2x + 3$

Se ambas representam a mesma função, então:

$1000e^kx = 10^2x + 3$

Sabemos que:

$10^2x + 3 = 10^3 ⋅ 10^2x$

10^3 = 1000

Logo:

$10^2x+3 = 1000 ⋅ 10^2x$

Substituindo na igualdade:

$1000e^kx = 1000 ⋅ 10^2x$

Cancelando 1000 dos dois lados:

$e^kx = 10^2xe$

Sabemos que:

$10^2x=(eln⁡10)2x$

$e^2xln⁡10$

Logo:

$e^kx = e^2xln⁡10$

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:

Dividindo por :

Utilizando propriedade dos logaritmos:

$ln⁡(10^2)$