Questão 2021 - Matemática Financeira

Em uma carta aos clientes, um investimento é oferecido com a promessa de recebimento de um montante de R$8.200,00 líquidos, após 2 anos, para quem aderisse investindo inicialmente R$5.000,00. O valor líquido pago é obtido após descontados R$250,00 de taxas e impostos. Para melhorar a comunicação com os clientes, julgaram interessante acrescentar a taxa de juros compostos usada no cálculo do valor bruto, isto é, sem o desconto.

Qual é o valor da taxa anual que deve ser acrescentada na carta?

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Alternativa E está correta 30%O montante bruto é $ 8200 + 250 = R\$8.450{,}00 $. Usando a fórmula de juros compostos $ M = C \times (1+i)^n $, com $ C = 5000 $, $ M = 8450 $ e $ n = 2 $: $ 8450 = 5000 \times (1+i)^2 \Rightarrow (1+i)^2 = \frac{8450}{5000} = 1{,}69 \Rightarrow 1+i = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3 \Rightarrow i = 0{,}3 = 30\% $ ao ano.Por que as outras estão erradas: A) Com $ i = 2\% $ ao ano: $ M = 5000 \times (1{,}02)^2 = 5000 \times 1{,}0404 = R\$5.202{,}00 $ — muito abaixo do valor bruto de R$8.450,00.
B) Com $ i = 3\% $ ao ano: $ M = 5000 \times (1{,}03)^2 = 5000 \times 1{,}0609 = R\$5.304{,}50 $ — igualmente insuficiente.
C) Com $ i = 20\% $ ao ano: $ M = 5000 \times (1{,}2)^2 = 5000 \times 1{,}44 = R\$7.200{,}00 $ — abaixo do valor bruto de R$8.450,00.
D) Com $ i = 25\% $ ao ano: $ M = 5000 \times (1{,}25)^2 = 5000 \times 1{,}5625 = R\$7.812{,}50 $ — ainda abaixo do valor bruto exigido.

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