Alternativa D está correta

“7854”

Seja um número que pode ser escrito como a soma de quatro inteiros consecutivos.

Representemos esses números como:

n, n+1, n+2, n+3

A soma será:

n + (n+1) + (n+2) + (n+3)

= 4n + 6

Colocando em evidência:

= 2(2n + 3)

Observação importante:

A soma de quatro inteiros consecutivos é sempre:

• Um número par
• Não múltiplo de 4
• Congruente a 2 módulo 4

Isso porque:

4n é múltiplo de 4
4n + 6 = múltiplo de 4 + 6

E 6 deixa resto 2 na divisão por 4.

Portanto, o número procurado deve deixar resto 2 quando dividido por 4.

Seja um número que pode ser escrito como a soma de quatro inteiros consecutivos.

Representemos esses números como:

n, n+1, n+2, n+3

A soma será:

n + (n+1) + (n+2) + (n+3)

= 4n + 6

Colocando em evidência:

= 2(2n + 3)

Observação importante:

A soma de quatro inteiros consecutivos é sempre:

• Um número par
• Não múltiplo de 4
• Congruente a 2 módulo 4

Isso porque:

4n é múltiplo de 4
4n + 6 = múltiplo de 4 + 6

E 6 deixa resto 2 na divisão por 4.

Portanto, o número procurado deve deixar resto 2 quando dividido por 4.

Verificando as alternativas:

(A) 831 → número ímpar → impossível

(B) 1252
1252 ÷ 4 = 313 → divisível por 4 → resto 0 → impossível

(C) 3568
3568 ÷ 4 = 892 → divisível por 4 → resto 0 → impossível

(D) 7854
7854 ÷ 4 = 1963,5 → resto 2 → possível

(E) 11256
11256 ÷ 4 = 2814 → divisível por 4 → resto 0 → impossível

Confirmando a alternativa (D):

Se:

4n + 6 = 7854

4n = 7848

n = 1962

Logo os números são:

1962, 1963, 1964 e 1965

Somando:

1962 + 1963 + 1964 + 1965 = 7854

Confere.

Conclusão:

O único número que pode ser escrito como soma de quatro inteiros consecutivos é:

7854